সোমবার, ২১ অক্টোবর, ২০১৩

সংখ্যার ঘন নির্ণয় (To find the cube of a number)

বছর আটেক আগে মধ্যপ্রদেশে থাকার সময় ক্লাস নাইনের একটি ছেলেকে অঙ্ক পড়াতে গিয়ে তাদের স্কুলে (হিন্দি মাধ্যম) বৈদিক গণিত পড়ান হছে দেখে আমার উৎসাহ জাগে। ছেলেটির কাছ থেকে বইটি নিয়ে ভালভাবে বোঝার চেষ্টা করে দেখেছি এর মতন সহজ উপায়ে অঙ্ক আর কোন ভাবে করা যায় না। এই সম্বন্ধে আমি একটা বাংলাতে ই-বুক লিখে Smashwords থেকে পাবলিশ করেছি।
 দুতিন সপ্তাহ ধরে ভাবছিলাম যদি এর কিছু অংশকে আমাদের বীজগণিতীয় সুত্রের মতন বানান যেত তবে হয়ত আরও ভাল হত। এখানে আমার তৈরী ঘন বার করার সুত্র দিচ্ছি। ভুল থাকলে আমাকে জানাবেন যাতে আমার নিজেরও সেটা শুধরে নেবার অবকাশ থাকে।
এ সম্বন্ধে প্রথম যেটা ঠিক করার দরকার সেটা হল আধার, উপাধার এবং বিচলন এর ধারণা। আধার হচ্ছে ১০। ১০০,১০০০, ১০০০০ ইত্যাদি যাকে আমরা ইংরাজীতে exponent বলে জানি। ১০ ের আধার সংখ্যা ১, ১০০০ এর আধার সংখ্যা ৩ ইত্যাদি। উপাধার হচ্ছে সেই সংখ্যা যেটা দিয়ে গুন করে আমরা ১০ থেকে ২০, ৩০, ইত্যাদি বানাতে পারি।
বিচলন হচ্ছে আধার থেকে সংখ্যাটির পার্থক্য। যেমন ৯৫ র বিচলন হচ্ছে ১০০-৯৫ = -৫
৭৮৫ সংখ্যার আধার আমরা নিচ্ছি ১০০। উপাধার ৭ বা ৮ এবং বিচলন হবে উপাধার ৭ নিলে +৮৫ , আর উপাধার ৮ নিলে -১৫।
এবার আমরা ঘন বানানোর সুত্র বার করব।
[(উপাধারের বর্গ) X (সংখ্যা+ ২ X বিচলন)]; [(উপাধার X X বিচলনের বর্গ)];  [(বিচলন)(বিচলন)(বিচলন)]
 
ধরা যাক আমাদের ১০৬ র ঘন বার করতে হবে। আধার ১০০ উপাধার ১ বিচলন ৬ সুত্র হছে যেহেতু আধার ১০০ তাই আমাদের উত্তর হবে ৩ +২=২= ৭ সংখ্যা বিশিষ্ট। আমরা ডান দিক থেকে নিচ্ছি। প্রথমে বিচলনের ঘন অর্থাৎ ৬ X X ৬ = ২১৬ । তার পরে নেব বিচলনের বর্গকে ৩ গুন করা। পাচ্ছি ১০৮। পরে নিচ্ছি সংখ্যার সাথে দুবার বিচলনের যোগ। অর্থাৎ ১০৬+১২=১১৮।
এবার বা দিক থেকে লিখছি। ১১৮০০০০+১০৮০০+২১৬= ১১৯১০১৬।
If I put b as base and s as sub-base and v as the variance then the formula of finding the cube of the number n will be s2(n+2v)for first block , 3sv2 for the middle block and v3  for the third block. Or [s2(n+2v)] [3sv2] [v3}.
The reason of making the rules separated by block is that the digits in that block will depend on the value of b. If the base is 10 the second and third block will hold only one digit of the answer and the balance digits will be carried over to the next left block. If the base is 1000 the capacity of these blocks will be three each.
223. Here the base is 10. Sub base is 2 and variance is 2. Therefore applying the formula we have
22 X (22+4) ] [2 X 3 X22] [ 23] or (4X26) (24) (8) or(104)(24)(8).
Since the base is 10 therefore the second and the last block  from left will hold only one digit and the rest will be carried over to the next left block.
So we have 10400+240=8=10648 as answer.
 
For  953. Putting this in formula, our base =100, sub-base = 1 and variance =-5
So [12X 95-(2X5)] [1 X 3 X (-52)}] (-53) or [95-10] [3 X 25] [-125]
Or [85][75][-125] or 857500-125=857375.
Therefore cube of 95 is 857375.
 

1 টি মন্তব্য: